場合の数④　図形と場合の数

（2）何通りの正三角形ができるでしょう。

「もうひっかからないよ！これも場合の数でしょ！」と、思ったでしょう。こちらはほぼ図形問題です。
実際にいくつか三角形を書きこんでいくと気づくのですか、正三角形は以下の2種類しか作れません。

なんだか魔法が出てきそうな模様になってしまいましたが、赤い正三角形と青い正三角形が見えるでしょうか？
よって答えは

2通り

この問題も、3点を選んでしまえば勝手に三角形ができるので、組合せの問題となります。
ただ、頂点は3ヶ所なので、少し考えなくてはならないことがあります。 直線mから1つの点を選んだとすると、直線nから2つの点を選ぶことになります。逆に、直線nから1つの点を選ぶと、直線mから2つの点を選ぶことになります。
つまり今回は、①「mから1つ、nから2つ」と、②「mから2つ、nから1つ」の2パターンを考えることになります。
では、さっそく①「mから1つ、nから2つ」のパターンから考えていきましょう。

上の図は、例えば「mから点A、nから点Cと点D」を選んだ場合です。直線mから点Aを選んだとすると、直線n上の3つの点から2つを選ぶことになるので、その組合せは、

3通り×2通り÷2＝3通り

①「mから1つ、nから2つ」の場合は、
3通り＋3通り＝6通り

上の図は、例えば「mから点Aと点B、nから点C」を選んだ場合です。というか、直線nから点Cを選んだ場合は、この1通りしか三角形は作れません。
直線nから点Dを選んだときも、点Eを選んだ時も同じなので、

②「mから2つ、nから1つ」の場合は、
1通り×3＝3通り

なので、①のパターンと②のパターンを合わせて、

6通り＋3通り＝9通り

9通り

完全に組合せの問題です。安心してください（？）。直線mに平行な直線から2本、直線nに平行な直線から2本選べば、自動的に1つ平行四辺形ができあがります。

上の図は、例として、直線mに平行な直線から2本（緑の直線）を選び、直線nに平行な直線から2本（赤の直線）を選ぶと、１つの平行四辺形（青い平行四辺形）ができあがる様子です。
よって今回は、直線mに平行な直線5本の中から2本を選び、さらに直線nに平行な直線4本の中から2本を選ぶ、組合せの問題です。

5つの中から2つを選ぶ組合せは、
5通り×4通り÷2＝10通り

4つの中から2つを選ぶ組合せは
4通り×3通り÷2＝6通り

より、できる平行四辺形の数は、

10通り×6通り＝60通り

60通り