中学受験に必要な算数の基本テクニックを紹介しています。中学受験算数の独特な解法は、小学校では教わらない「裏技」的なものが多いので注意が必要です。
例題を使って、コツやポイントを押さえながら、なるべく丁寧な解説を心がけました。皆さまの理解の手助けとなれば嬉しいです。

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場合の数⑤ 道順

道順の求め方

今回取り上げるのは、「AからBまで遠回りをせずに行くと、何通りの経路があるでしょう。」という感じの問題が、下のような図と一緒に出題されるものです。

この図で、AからBまでの経路を考えるとき、必ず右に進むか、上に進むかしかできません。下や左に進んでしまうと、遠回りになってしまいます。 それを頭に入れた上で、そこに行くには何通りあるか、どんどん図に書きこんでいきます。
この図では、真っ直ぐ右に進むか、真っ直ぐ上に進む場合は1通りしかありません。なので、まずは「真っ直ぐ進むのは1通りだよ」と、図に書きこんでいきます。

続いて、内側を考えていきます。その場所に行くには何通りあるか、足していきます。スタートに近い方から書いていくと良いです。

例えば、上の図のCの点について考えてみます。Cに行くには、Cの左側から来るか、下側から来るかしかありません。 どちらの場所にも「1」と書かれていますので、Cに行く方法は、1通り+1通り=2通りということになります。なので、Cには「2」と書きこんでおきます。他の場所にもどんどん書きこんでいきましょう。 この図においては、左の数字と下の数字を足せばよいのだと思っても大丈夫です。

よって、AからBまでは、56通りの経路があるということになります。
どんな形が出てきても、「この場所に行くには何通り?」と考えながらたし算をしていけば必ず求められますので、コツコツと数字を書きこんでいってください。

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ここを通るとき、ここを通らないとき

道順の問題を解いていると必ず聞かれるのが、「Aから、Cを通って、Bへ行く経路は何通り?」というタイプの問題です。 この場合は、先ほどと同じように解けるので、数字を書きこんでいってください。
「Aから、Cを通らずに、Bへ行く経路は何通り?」というタイプの問題は、全部の経路から、Cを通る場合をひき算をして解いていきます。

(例題1)

上の図で、AからBまで、遠回りをせずに最短距離で行くことにします。


(1)経路は全部で何通りでしょう。

(2)Cを必ず通るとき、経路は何通りでしょう。

(3)Cを通らないとき、経路は何通りでしょう。

(1)経路は全部で何通りでしょう。

先ほどと同じように、数字を入れていきましょう。

よって答えは

35通り

(2)Cを必ず通るとき、経路は何通りでしょう。

同じように数字を入れていくのですが、まずはAからCまでの経路を出していきます。

続けて、CからBまでの経路を書き加えていきましょう。

よって答えは

18通り

(3)Cを通らないとき、経路は何通りでしょう。

Cを通らないということは、全部の経路から、Cを通る経路を引けばよいので、

35通り-18通り=17通り

よって答えは

17通り

はじめは時間がかかるかもしれませんが、練習問題を解いていくうちに、パパっと数字を入れられるようになります。一度できるようになってしまえばあとは簡単に解けますので、頑張って練習してください。

長方形ではないとき

ここまではすべて長方形でしたが、長方形でなくても求められます。やり方も変わりません。同じように数字をコツコツと入れていきましょう。

(例題2)

上の図で、AからBまで、遠回りをせずに最短距離で行くとき、その経路は何通りあるでしょう。

「あわわ。いつもと違う形が出てきたどうしよう!!」と思うかもしれませんが、安心してください。この場合もただ数字を書きこんでいくだけです。

よって答えは

47通り

例題2が解けないようならば、まだ数字の書きこみ方が定着していないのでしょう。もう少し長方形のやつを練習してからトライしましょう。
例題2が解けるようならば、もうどんな形で出題されても大丈夫でしょう!
それでは道順の場合の数をまとめます。

まとめ

道順の場合の数を解くときは

  1. 「この場所にたどり着くには何通り?」と考えながら、スタートに近い方から順に数字を書きこんでいく。
  2. 途中寄り道する場合は、寄り道地点まで数字を書きこんでから、残りを書き加えていく。
  3. 「○○を通らない」場合は、全部の経路から、そこを通る経路をひき算する。
  4. 変な形が出てきても、落ち着いて数字を書きこんでいく。

ここまでで場合の数のお話はおしまいです。次は規則性のお話です。

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