中学受験に必要な算数の基本テクニックを紹介しています。中学受験算数の独特な解法は、小学校では教わらない「裏技」的なものが多いので注意が必要です。
例題を使って、コツやポイントを押さえながら、なるべく丁寧な解説を心がけました。皆さまの理解の手助けとなれば嬉しいです。

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規則性① 周期算

周期算とは

数字や図形、物などを規則正しく並べる規則性の問題全体を周期算と呼ぶ人もいますが、ここでは、数字や物を横一列に、規則にしたがって並べるものを周期算と呼びます。
数列も、周期算として考える人もいます。

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周期算の解き方

周期算は、どんな規則で並んでいるのかを見つけられれば、もう解けたも同然です。あとは問題をよく読んで、聞かれたものを答えていきましょう。

(例題1) 数字が、あるきまりにしたがって並んでいます。
3, 9, 5, 2, 1, 3, 9, 5, 2, 1, 3, 9, 5……


(1)左から128番目の数は何でしょう。

(2)左から数字を順に足していくとき、和が128を超えるのは、何番目まで足したときでしょう。

(1)左から128番目の数は何でしょう。

まずは、どんなきまりで数字が並んでいるのかを考えましょう。
同じ数字の繰り返しになっているのが見えますでしょうか。

このように、「3, 9, 5, 2, 1」の5つの数字を1セットとして並んでいます。

それでは128番目の数を考えていきましょう。まずは、128番目までに、この「3, 9, 5, 2, 1」のセットが何セットできるか求めましょう。1つのセットに5つの数字が入っているので、

128÷5=25あまり3

よって、25セットできて、3つの数があまります。

よって答えは

5

(2)左から数字を順に足していくとき、和が128を超えるのは、何番目まで足したときでしょう。

1セットの中の5つの数字を足してみましょう。

3+9+5+2+1=20

合わせて128になるまでに、この「20」のセットがいくつできるか考えます。

128÷20=6あまり8

つまり、128になるためには6セットと、あと8必要ということになります。

なので、128を超えるのは、6セット+2番目の数「9」になります。1セットには5つの数が入っているので、この「9」が左から何番目の数なのかを考えると、

5つ×6セット+2つ=32

よって答えは

32番目

「○セット」「○番目」「○つ」など、いろいろな数字が出てくるのでこんがらがりやすいです。数字だけでなく、「セット」「番目」などの単位をつけてノートを書き、慣れるまではゆっくりと考えながら解きましょう。

(例題2)

さっそく小数に直してみましょう。

はじめの「0.1」のところまではきまりがありませんが、その後ろは「387」のくり返しです。
ですので、小数第100位までに、この「387」のセットが、何セットできるのかを考えましょう。小数代100位までに、0でない数字は100個出てきますが、はじめの「0.1」の部分は考えないので、99個の数字が出てくると考えて、

99÷3=33あまり0

ぴったり33セットできて、あまりはありません。

よって答えは

7

はじめは「小数?なんで小数?」と思うかもしれませんが、まぁあれです。とにかくやってみようです。算数は、「なんだこれ?」と思っても、とりあえずやってみたらできることもあるので、とりあえずやってみましょう。 頭の中だけ考えず、ノートに書きながら、目に見えるようにしておくとさらに分かりやすいです。

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(例題3)

上の図のようなきまりにしたがって、左から順に白と黒の碁石を並べていきます。100個目の白の碁石が置かれるのは、左から何番目でしょう。

まずは、どんなきまりがあるのか考えてみましょう。

上の図のように、「黒白白黒黒白」の6個の碁石を1セットとして続いていきます。
これが見えてしまえばこの問題は解けたも同然です。 100個目の白の碁石が置かれるまでに、このセットが何セットあるか考えます。1セットの中に白の碁石は3個あるので、

100÷3=33あまり1

で、33セットあることがわかりました。あまりは1なので、この33セットの次に置かれる白の碁石が、100個目の碁石ということになります。

上の図より、100番目の白の碁石は「33セット+2個目」ということになります。1セットの中の碁石は6個なので、

33セット×6個+2個=200

よって答えは

200番目

ということで、基本的には「きまり」を見つけ出して、地道に計算をしていきます。
それでは周期算をまとめます。

まとめ

周期算を解く時は

  1. どんなきまりで並んでいるのかを見つけ出す。
  2. 1セットの中の状況を見て、問題で聞かれている場所の前には何セットあるのかを、わり算を使って求める。
  3. あまりを見て、問題で聞かれている場所を見つけ出す。
  4. 地道に計算する。

次は、数を並べる規則性のお話です。

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