中学受験に必要な算数の基本テクニックを紹介しています。中学受験算数の独特な解法は、小学校では教わらない「裏技」的なものが多いので注意が必要です。
例題を使って、コツやポイントを押さえながら、なるべく丁寧な解説を心がけました。皆さまの理解の手助けとなれば嬉しいです。

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規則性② 数を並べる問題

数を並べる問題とは

前のページでも数字を並べましたが、今度は真っ直ぐ横に並べるのではなく、いろいろな形に並べていきます。
四角く並べたり、段々に並べたり、ピラミッド型に並べたりします。そして、○段目の□番目の数字を求めたり、数字が何行目の何列目にあるか求めたりします。

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数を並べる問題の解き方

数を並べる問題は、「一番はじっこの数字がどんなきまりで増えているか」を考えると分かりやすいです。 ちょっと言葉では説明しづらいので、例題を解きながら解説していきます。
数列等差数列の考え方を多く使うので、必要ならば復習をしてからトライしてください。

(例題1)

上の図のように、規則にしたがって数字が並んでいます。


(1)111は、何段目の、左から何番目にあるでしょう。

(2)100段目の、左から32番目の数はなんでしょう。

(1)111は、何段目の、左から何番目にあるでしょう。

111くらいならば地道に書いていけば答えは求められますが、ここではもっとスマートに(かしこく)いきましょう。
それぞれの段の左はしの数字が、どんなきまりで増えていくのかを考えてみます。

このように左はしの数は、最初の「1」から、+1、+2、+3と増えていきます。左はしの数字だけを求めていくと、

1段目: 1
2段目: 1+1=2
3段目: 1+1+2=4
4段目: 1+1+2+3=7
5段目: 1+1+2+3+4=11
6段目: 1+1+2+3+4+5=16
7段目: 1+1+2+…+6=22
8段目: 1+1+2+…+7=29
9段目: 1+1+2+…+8=37
10段目:1+1+2+…+9=46
11段目:1+1+2+…+10=56
12段目:1+1+2+…+11=67
13段目:1+1+2+…+12=79
14段目:1+1+2+…+13=92
15段目:1+1+2+…+14=106
16段目:1+1+2+…+15=121

16段目の左はしの数が111を超えてしまったので、目的の「111」は15段目にあることがわかります。
続いて、「111」が15段目の左から何番目の数なのかを考えます。15段目の左はしの数が「106」なので、ひき算をして求めるのですが、左はしの数を「1番目」と数えるので、

111-106+1=6

最後の「+1」がよく分からないという人は、植木算を復習してみてください。(植木算の解説はこちら
どうしても不安ならば、15段目だけ書き出してみるとよいと思います。

よって答えは

15段目、左から6番目

(2)100段目の、左から32番目の数はなんでしょう。

気合を入れれば100段目の左のはしの数をこのまま書き出していけますが、ここではもっとスマートに(かしこく)いきましょう。
先ほどの法則にしたがって100段目の左はしの数を考えると、

100段目:1+1+2+…+99

と、なります。最初の「1+」の部分はダメなのですが、そのあとの「1+2+3+4+…+98+99」の部分は、等差数列の和の法則を使えば簡単に求めることができます。(等差数列の解説はこちら

上の赤い四角の中の部分は等差数列で、初めの数が1、最後の数が99、項の数が99個なので、

(初めの数+最後の数)×項の数÷2
=(1+99)×99÷2
=4950

最初の「1+」の部分も合わせて、

1+4950=4951

これで、100段目の左はしの数が「4951」であることがわかりました。
求める数は、この段の左から32番目の数なので、

4951+32-1=4982

最後の「-1」は、植木算的なアレです。

よって答えは

4982

さすがに100段目まで地道に書き上げる人はいないと思いますが、こういった問題はなるべくスマートに解くのがかっこいいです。 というか、テスト中にこんなの書き上げてるひまはありませんし。

(例題2)

上の図のように、規則にしたがって数字が並んでいます。


(1)103は、何行目の何列目にあるでしょう。

(2)17行目、4列目の数はなんでしょう。

(1)103は、何行目の何列目にあるでしょう。

103くらいなら地道に書いていけば求められますが、ここではもっとスマートに(かしこく)いきましょう。
今回注目するの、それぞれの列の1行目(一番上の数字)です。

「1, 4, 9, 16, …」という並びを見てピンと来たのならば、普段からよく数字を意識できているということです。 そうです!この数字たちは、同じ数を2回かけた数字ですね。

1列目 : 1=1×1
2列目 : 4=2×2
3列目 : 9=3×3
4列目 : 16=4×4

このまま続けていくと、103に一番近い数になるのは「10×10=100」です。
これをふまえた上で、10列目とか11行目とか、その辺りを書き出してみましょう。

よって答えは

11行目の3列目

(2)17行目、4列目の数はなんでしょう。

気合いを入れれば、17行目くらいまでなら地道に書き出していけますが、ここではもっとスマートに(かしこく)いきましょう。
16列目の1行目(一番上の数字)を求めてみます。

16×16=256

それでは、16列目とか17行目とか、その辺りを書き出してみましょう。

よって答えは

260

「1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …」というのは、とても大切な数字たちです。見かけたら、「あ!この子は!」って思うようになるまで頭にすり込みましょう。
ポテトチップが安売りで81円になっていたら、「あ!9×9だ!」って思うように。
前を走る車のナンバーが169だったら、「あ!13×13だ!」って思うように。
「ああ、この人は最近数字ばっかり見てておかしくなってしまったのかな・・・。」と思われるくらいに頭にすり込んでおきましょう。
それでは、数を並べる規則性の問題をまとめます。

まとめ

数を並べる規則性の問題を解く時は

  1. どこの数に注目すれば求めやすいか考える。
  2. 注目した数たちが、どんなきまりで並んでいるのか(増えていくのか)を考える。
  3. 植木算的なものに注意しながら計算をする。
  4. どうしても不安ならば、答えの付近の数字だけ書き出してみる。

規則性の問題はもう少し続きます。次は図形を並べます。

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