中学受験に必要な算数の基本テクニックを紹介しています。中学受験算数の独特な解法は、小学校では教わらない「裏技」的なものが多いので注意が必要です。
例題を使って、コツやポイントを押さえながら、なるべく丁寧な解説を心がけました。皆さまの理解の手助けとなれば嬉しいです。

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面積図を使った食塩水の問題

食塩水の問題と面積図

食塩水の問題は、ほとんどの場合は前のページのように絵を描けば解けます。 ですが、中学受験の算数では、絵を描いただけではどうしても解けない場合があります。その場合は面積図を書いてみます。
何度か書いていますが、面積図はかけ算を使う公式とは相性がいいのです。割合には「割合×もとにする量=比べられる量」という公式があるので、面積図はとっても使えます。 食塩水の問題で面積図を使う場合、たてを濃さ、横を食塩水の重さ、面積を食塩の重さに置きかえましょう。

たて×よこ=面積
濃さ×食塩水の重さ=食塩の重さ
(割合×もとにする量=比べられる量)

この時点で「何を言っているのかわからない。」という人は、食塩水の基本を復習してから戻ってきてください。
「絵を描いても出せそうもないな。」と思ったら面積図を書くのですが、絵を描く前に、「こういう問題なら面積図」というパターンもあります。

  1. 食塩水の重さの合計はわかっているが、それぞれの食塩水の重さがわからないとき
  2. 食塩水に食塩を溶かしていて、溶かした食塩の重さを求めるとき
  3. 食塩水に水を混ぜていて、食塩水の重さ(または濃さ)を求めるとき
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食塩水の重さの合計はわかっているが、それぞれの食塩水の重さがわからない問題の解き方

面積図の見方は、平均の問題の面積図に近いです。「こことここの面積は等しいから」というタイプの考え方です。

(例題1)8%の食塩水と12%の食塩水を混ぜたら、10.4%の食塩水が500gできました。 8%の食塩水と12%の食塩水は、それぞれ何gでしょう。

食塩水の重さの合計はわかっていますが、それぞれの食塩水の重さはわかっていません。この場合は絵を描いて考えても答えを求められないので、面積図を使って考えます。
たてを濃さ、横を食塩水の重さ、面積を食塩の重さに置きかえます。

たて×よこ=面積
濃さ×食塩水の重さ=食塩の重さ

それぞれの食塩水の重さはわからないので、横の長さは適当に書いておきます。

この面積図に、混ぜてできた10.4%の食塩水500gの面積図を重ねて赤で書いてみます。

混ぜる前も、混ぜた後も、食塩の重さの合計は同じなので、赤い長方形から飛び出している部分と、へこんでしまっている部分の面積は同じです。

そして、下のように面積図をわけて見てみると、

「ア」の部分と「イ」の部分の面積は同じなので、「ア+ウ」の部分と「イ+ウ」の部分の面積も同じです。「ア+ウ」の部分の面積は、

たて→0.104-0.08=0.024
横→500g

より、面積は、

0.024×500g=12g

これにより、「イ+ウ」の部分は、

たて→0.12-0.08=0.04
横→□g
面積→12g

で、あることがわかりました。なので、

□=12÷0.04=300g

これで、12%の食塩水が300gだったことがわかったので、8%の食塩水の重さは、

500g-300g=200g

よって答えは

8%…200g、12%…300g

食塩水に食塩を溶かして、溶かした食塩の重さを求める問題の解き方

食塩はすべて食塩なので、濃さ100%と考えます。

(例題2)4%の食塩水150gに食塩を何gか加えて、20%の食塩水を作りました。 加えた食塩は何gでしょう。

食塩水に食塩を溶かして、溶かした食塩の重さを求める問題なので、面積図を使って考えます。

たて×よこ=面積
濃さ×食塩水の重さ=食塩の重さ

加えた食塩の重さはわからないので、横の長さは適当に書いておきます。加えた食塩は、濃さ100%として書いていきます。

例題1と同じように、赤い長方形から飛び出た部分と、へこんでいる部分の面積は同じです。

面積図より、「ア」の部分の面積は、

0.16×150g=24g

「イ」の部分の面積も24gなので、

□=24g÷0.8=30g

よって答えは

30g

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食塩水に水を混ぜて、食塩水の重さ(または濃さ)を求める問題の解き方

水には食塩はまったく入っていないので、濃さは0%と考えます。
(例題3)6%の食塩水に水を100g加えたら、4%になりました。 6%の食塩水は何gだったでしょう。

食塩水に水を混ぜて、食塩水の重さを求める問題なので、面積図を使って考えます。

たて×よこ=面積
濃さ×食塩水の重さ=食塩の重さ

食塩水の重さはわからないので、横の長さは適当に書いておきます。加えた水は濃さ0%として、まずは6%の食塩水と、水100gの面積図を書きます。

水は濃さ0%としているので、面積図はもはやただの線です。これに、できあがった食塩水の面積図を重ねて書きます。

前の2問と同じように、赤い長方形から飛び出した部分と、へこんでいる部分の面積は同じです。

面積図より、「イ」の部分の面積は、

0.04×100g=4g

「ア」の部分の面積も4gなので、

□=4g÷0.02=200g

よって答えは

200g

食塩を加えるときも、水を加えるときも、面積図のたての長さがちょっとおかしくなってますが、スペースの都合ですすみません。 食塩を加えた時の「たての長さ1」の面積図は、本当はもっとずっとたて長ですよね。そのまま書くと、とんでもなく長い長方形になってしまうので。
それでは、面積図を使った食塩水の問題をまとめます。

まとめ

面積図を使った食塩水の問題を解くときは

  1. 食塩水の重さの合計はわかっているが、それぞれの食塩水の重さがわからないとき、食塩水に食塩を溶かして、溶かした食塩の重さを求めるとき、 食塩水に水を混ぜて、食塩水の重さ(または濃さ)を求めるは面積図を書く。
  2. 食塩を加えるときは濃さを100%に、水を加えるときは濃さを0%にする。
  3. 混ぜる前の面積と、混ぜたあとの面積が同じになることを使って、横の長さやたての長さを求めていく。

面積図のお話はここまでです。次は図形です。

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