中学受験に必要な算数の基本テクニックを紹介しています。中学受験算数の独特な解法は、小学校では教わらない「裏技」的なものが多いので注意が必要です。
例題を使って、コツやポイントを押さえながら、なるべく丁寧な解説を心がけました。皆さまの理解の手助けとなれば嬉しいです。

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通過算の練習問題③ 応用編

通過算の応用問題

こちらは、通過算の応用問題を載せているページです。
通過算の詳しい解説はこちら基本問題はこちら標準問題はこちらへどうぞ。
通過算のポイントは、絵を描いて、実際に走った道のりを求めることです。

(応用問題1)長さ180m、時速68.4kmの普通列車と、長さ285m、時速43.2kmの貨物列車が、出会ってからすれ違うまでに何秒かかるでしょう。

とりあえず、速さの単位を変換しておきます。時速kmを秒速mに直します。

時速68.4km=秒速19m
時速43.2km=秒速12m
速さの単位変換の方法はこちら

普通列車と貨物列車がすれ違い始めた時と、すれ違い終わった時の絵を描いて、2つの列車の進んだ道のりの合計を考えます。 本当はどちらの列車も動いているのですが、どちらも動かしてしまうと絵がゴチャゴチャになってしまうので、今回は貨物列車を同じ場所に描きます。

図のように、出会ってからすれ違うまでに進んだ2つの列車の道のりの合計は、

180m+285m=465m

ここからは旅人算の考え方です。(旅人算の解説はこちら
普通列車は1秒間に19m、貨物列車は1秒間に12m進むので、1秒間にすれ違う道のりは、

19m+12m=31m

全部で465mすれ違うので、かかる時間は、

465m÷31m=15

よって答えは

15秒

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(応用問題2)長さ170m、時速90kmの特急列車が、長さ130m、時速72kmの普通列車に追いついてから追いこすまで、何秒かかるでしょう。

とりあえず、速さの単位を変換しておきます。時速kmを秒速mに直します。

時速90km=秒速25m
時速72km=秒速20m
速さの単位変換の方法はこちら

特急列車が普通列車に追いついた時と、普通列車を完全に追いこした時の絵を描いて、2つの列車の進んだ道のりの差を考えます。 本当はどちらの列車も動いているのですが、どちらも動かしてしまうと絵がゴチャゴチャになってしまうので、今回は普通列車を同じ場所に描きます。

図のように、追いついてから追いこすまでに進んだ2つの列車の道のりの差は、

170m+130m=300m

つまり、特急列車の方が、普通列車よりも300m多く走ったということになります。ここからは旅人算の考え方です。(旅人算の解説はこちら
特急列車は1秒間に25m、普通列車は1秒間に20m進むので、1秒間に追いこす道のりは、

25m-20m=5m

全部で300m追いこすので、かかる時間は、

300m÷5m=60

よって答えは

60秒

(応用問題3)長さ190m、時速79.2kmの特急列車と、時速64.8kmの普通列車が、出会ってからすれ違うまでに9秒かかりました。 普通列車の長さは何mでしょう。

とりあえず、速さの単位を変換しておきます。時速kmを秒速mに直します。

時速79.2km=秒速22m
時速64.8km=秒速18m
速さの単位変換の方法はこちら

特急列車は1秒間に22m、普通列車は1秒間に18m進むので、1秒間にすれ違う道のりは、

22m+18m=40m

9秒かかってすれ違うので、2つの列車が進んだ道のりの合計は、

40m×9秒=360m

普通列車と貨物列車がすれ違い始めた時と、すれ違い終わった時の絵を描いてみます。 本当はどちらの列車も動いているのですが、どちらも動かしてしまうと絵がゴチャゴチャになってしまうので、今回は普通列車を同じ場所に描きます。

図のように、出会ってからすれ違うまでに進んだ2つの列車の道のりの合計は、列車の長さの和になっています。特急列車の長さは190mなので、普通列車の長さは、

360m-190m=170m

よって答えは

170m

(応用問題4)長さ120m、時速72kmの普通列車が、長さ300mの貨物列車に追いついてから追いこすまで、ちょうど1分かかりました。 貨物列車の速さは、時速何kmでしょう。

とりあえず、速さの単位を変換しておきます。時速kmを秒速mに直します。

時速72km=秒速20m
速さの単位変換の方法はこちら

普通列車が貨物列車に追いついた時と、貨物列車を完全に追いこした時の絵を描いて、2つの列車の進んだ道のりの差を考えます。 本当はどちらの列車も動いているのですが、どちらも動かしてしまうと絵がゴチャゴチャになってしまうので、今回は貨物列車を同じ場所に描きます。

図のように、追いついてから追いこすまでに進んだ2つの列車の道のりの差は、

300m+120m=420m

つまり、普通列車の方が、貨物列車よりも420m多く走ったということになります。
追いこすのにかかった時間は1分(60秒)なので、1秒間で追いこす道のりは、

420m÷60秒=7m

普通列車は1秒間で20m進みますので、貨物列車が1秒間で進む道のりは、

20m-7m=13m

よって、貨物列車の速さは秒速13mです。答えは時速kmで答えるので、

秒速13m=時速46.8km

よって答えは

時速46.8km

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(応用問題5)長さ208mの特急列車と、長さ160mの普通列車があります。 特急列車と普通列車が、出会ってからすれ違うまでに8秒、特急列車が普通列車に追いついてから追いこすまで、3分4秒かかりました。 特急列車と普通列車の速さは、それぞれ秒速何mでしょう。

①すれ違う時
出会ってからすれ違うまで、2つの列車が進んだ道のりの合計は、

208m+160m=368m

すれ違うのにかっかた時間は8秒なので、1秒間ですれ違った道のりは、

368m÷8秒=46m

つまり、特急列車と普通列車が1秒間に進む道のりの和は46mです。

②追いこす時
追いついてから追いこすまで、2つの列車が進んだ道のりの差は、

208m+160m=368m

追いこすのにかっかた時間は3分4秒(184秒)なので、1秒間で追いこした道のりは、

368m÷184秒=2m

つまり、特急列車と普通列車が1秒間に進む道のりの差は2mです。

③1秒間に進む道のりの和と差が分かったので
和と差が分かっているので、和差算を使います。(和差算の解説はこちら
さっそく線分図を書いてみましょう。

この線分図を使って、普通列車が1秒間に進む道のりを求めます。

線分図より普通列車が1秒間に進む道のりは、

(46m-2m)÷2=22m

よって、特急列車が1秒間に進む道のりは、

22m+2m=24m

よって答えは

特急列車…秒速24m
普通列車…秒速22m

ポイント

「すれ違うのに○秒、追いこすのに□秒かかる」というタイプの問題は、いつもこの手順で求められます。

  1. すれ違う時を考えて、1秒間に進む道のりの和を求める。
  2. 追いこす時を考えて、1秒間に進む道のりの差を求める。
  3. 和差算を使って、それぞれの速さを求める。
(応用問題6)ある列車が、160mのトンネルを通りすぎるのに14秒かかり、220mの鉄橋を通りすぎるのに17秒かかりました。 この列車の速さは、秒速何mでしょう。また、この列車の長さは何mでしょう。
トンネルの絵と鉄橋の絵を描いて並べてみます。

コツは、「ここまで」の地点をたてに合わせて描くことです。この2つの絵を見比べてみましょう。

この絵の、緑の矢印の部分に注目してみます。この部分は、

時間
17秒-14秒=3秒

道のり
220m-160m=60m

つまり、この列車は3秒間で60m進むので、速さは、

60m÷3秒=秒速20m

続いて、列車の長さを求めます。速さを求めたので、トンネルを使っても鉄橋を使っても、普通の通過算の考え方で求められます。今回はトンネルの方を使ってみます。
トンネルを通りすぎるのには14秒かかっていますので、その間に列車が進んだ道のりは、

秒速20m×14秒=280m

トンネルの長さは160mだったので、列車の長さは、

280m-160m=120m

よって答えは

速さ…秒速20m
長さ…120m

ポイント

「鉄橋を通りすぎるのに○秒、トンネルを通りすぎるのに□秒かかる」というタイプの問題は、いつもこの手順で求められます。

  1. 鉄橋の絵とトンネルの絵を、「ここまで」の部分をたてに合わせて描く
  2. 「ここから」の部分に注目して、時間の差と道のりの差を求める。
  3. 速さを求める。
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