体積と比

水の容積と底面積と深さの比

容器の中に入っている水などの体積を「容積」といいます。
柱の容器に入れた水の容積が同じならば、底面の面積と深さは逆比になるという法則があります。

柱の容器に入っている水の容積が同じ時
底面の面積の比＝a:bならば、
深さの比＝b:a

（例題1）

同じ体積の水を円柱の容器Aと容器Bに入れると、容器Aは深さが8cmに、容器Bは深さが12cmになりました。容器Aと容器Bの底面の面積の比は何対何でしょう。

容器に入っている水の体積は同じなので、底面の面積と深さは逆比になります。
今回は深さの比＝8cm:12cmなので、

底面の面積の比＝12:8
＝3:2

よって答えは

3:2

底面積の比と深さの比で、容積の比を求める

柱の体積の公式を使って、そのまま容積の比を求めることができます。

柱の体積＝底面の面積×高さ
容積の比＝底面の面積の比×高さの比

（例題2）

上の図の円柱の容器Aと容器Bは、底面の面積の比が2:3です。 2つの容器に水を入れると、水の深さはそれぞれ5cmと4cmになりました。容器Aに入っている水の体積と容器Bに入っている水の体積の比は何対何でしょう。

「容積の比＝底面の面積の比×高さの比」なので、容器Aと容器Bに入っている水の体積の比は、

（②×5cm）:（③×4cm）＝10:12
＝5:6

よって答えは

5:6

同じ深さにする容積の問題の解き方

容積の比は、いろいろな問題で活用できます。特によく問われるのは、いくつかの容器の水の深さを同じにする問題です。

（例題3）

上の図の容器A、容器B、容器Cは直方体で、底面の面積の比は2:3:5です。容器Aと容器Bに水を入れると、深さはそれぞれ5cmと4cmになりました。この水をいくらか容器Cに移して、3つの容器に入っている水の深さをすべて同じにします。深さは何cmになるでしょう。

実際の底面の面積がいくつなのかわからないのですが、ここでは比の数字をそのまま使って、それぞれ②、③、⑤としてしまいます。
体積の求め方は「底面積×高さ」なので、これを使って水の体積を求めていきます。

容器A
②×5cm＝10

容器B
③×4cm＝12

10＋12＝22

よって、水の体積は全部で22です。
底面の本当の面積がわかっていないので、22という数字は本当の体積ではありません。なので□で囲っておきました。単位も書きません。
続けてこの水を容器Cに移すわけなのですが、「水を移す」と考えるよりも、「3つの容器を合体させる」と考えた方がわかりやすいと思います。というわけで、合体させてみます。

合体させると底面の面積は、

②＋③＋⑤＝⑩

水の体積は先ほど22と求めたので、

水の深さ＝水の体積÷底面の面積
＝22÷⑩
＝2.2

よって答えは

2.2cm

このように、本当の面積や、本当の長さでなくても、比の数字を使って体積の公式にあてはめることができます。この考え方は速さや面積など、いろいろな場面で使うことができるのですが、使ってもいいのかダメなのかの判断が少し難しいので、まずはこの「深さを同じにする問題」をたくさん解いて、感覚をつかんでおきましょう。
それでは体積と比をまとめます。

まとめ

体積と比の関係