中学受験に必要な算数の基本テクニックを紹介しています。中学受験算数の独特な解法は、小学校では教わらない「裏技」的なものが多いので注意が必要です。
例題を使って、コツやポイントを押さえながら、なるべく丁寧な解説を心がけました。皆さまの理解の手助けとなれば嬉しいです。

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数列の練習問題③ 応用編

数列の応用問題

こちらは、数列の応用問題を載せているページです。
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ポイント

等差数列の公式

  1. 第N項=初めの数+公差×(N-1)
  2. 第N項までの和=(初めの数+最後の数)×N÷2
(応用問題1)あるきまりにしたがって、整数が次のように並んでいます。

2, 3, 7, 14, 24, 37, ・・・


(1)47番目の数はいくつでしょう。

(2)100番目の数はいくつでしょう。

(1)47番目の数はいくつでしょう。

この数列は階差数列です。

上の図のように、次の項へはいくつ足しているだろうと考えたら、「1, 4, 7, 10, ・・・」と、初めの数が1、公差が3の等差数列が現れました。 これをもとにして、それぞれの項を求めていきます。まずは第1項から第4項までの求め方を考えてみましょう。

第1項=2
第2項=2+1=3
第3項=2+1+4=7
第3項=2+1+4+7=14
第4項=2+1+4+7+10=24

同じように考えると第47項は、

2+1+4+7+10+13+・・・

と、表すことができます。

初めの2だけは別ですが、その後の「1, 4, 7, 10,・・・」は等差数列ですので、公式を使って和を求めることができます。公式を使うためには、最後の数と、項の数を求めなければなりません。 「2, 3, 7, 14, 24, 37, ・・・」の数列の47番目の数を求めるので、「1, 4, 7, 10,・・・」の数列の項の数は46です。これは植木算の考え方で求められます。(植木算の解き方はこちら

それでは、「1, 4, 7, 10, ・・・」の数列の、46番目の数を求めます。

第N項=初めの数+公差×(N-1)
=1+3×(46-1)
=1+3×45
=1+135
=136

よって、最後の数は136です。それでは、「2, 3, 7, 14, 24, 37, ・・・」の数列の、47番目の数を求めます。

2+1+4+7+10+13+・・・+136
=2+(1+136)×46÷2
=2+137×46÷2
=2+3151
=3153

よって答えは

3153

(2)100番目の数はいくつでしょう。

100番目の数も同じように求めてみましょう!

まずは「1, 4, 7, 10,・・・」の方の数列の99番目の数を求めます。

第N項=初めの数+公差×(N-1)
=1+3×(99-1)
=1+3×98
=1+294
=295

それでは、「1, 4, 7, 10, ・・・」の数列の、100番目の数を求めます。

2+1+4+7+10+13+・・・+295
=2+(1+295)×99÷2
=2+296×99÷2
=2+14652
=14654

よって答えは

14654

ポイント

階差数列の問題は、2種類の数列が出てきます(3種類出てくることもあります)。 今、自分はどの数列のことを考えているのか、ゆっくり確認しながら求めていきましょう。

(応用問題2)あるきまりにしたがって、整数が次のように並んでいます。

(1)第21群の5個目の数はいくつでしょう。

(2)1001は、第何群の何個目の数でしょう。

(3)第15群の数をすべて足すといくつになるでしょう。

(1)第21群の5個目の数はいくつでしょう。

このように、規則正しくグループに分けてある数列を群数列といいます。 群数列は、それぞれの群の最後の数が、初めから数えて第何項目になるのかを考えるとよいです。

これを式に表してみると、

第1群の最後=2項目
第2群の最後=2+3=5項目
第3群の最後=2+3+4=9項目
第○群の最後=2+3+4+5+・・・

つまり、第○群の最後の数が第何項なのかを求めるには、初めの数が2、公差が1の等差数列の和を求めればよいということがわかります。 さて、今回は第21群の5個目の数を求めるので、まずは第20群の最後の数が、初めから数えて何個目の数なのかを求めましょう。第20群にはいくつの数字が入っているでしょうか。
「第1群には2個」、「第2群には3個」、「第3群には4個」数字が入っていることから、「第20群には21個」数字が入っていることがわかります。 これらのことから第20群の最後の数は、初めから数えて何個目の数かというと、

2+3+4+・・・+21
=(2+21)×20÷2
=23×20÷2
=230

第20群の最後の数が、初めから数えて230個目の数ということがわかりました。 今回求める第21群の5個目の数は、初めから数えて「230個+5個」で、235個目にあたります。

それでは、初めから数えて235番目の数がいくつなのかを考えてみましょう。この数列は「1. 3. 5. 7. 9. ・・・」と、初めの数が1、公差が2の等差数列です。その第235項は、

第N項=初めの数+公差×(N-1)
=1+2×(235-1)
=1+2×234
=1+468
=469

よって答えは

469

(2)1001は、第何群の何個目の数でしょう。

1001が、初めから数えて何個目の数かを求めましょう。

初めの数+公差×(N-1)=第N項
1+2×(N-1)=1001
2×(N-1)=1001-1
2×(N-1)=1000
N-1=1000÷2
N-1=500
N=501 (□や文字を求める計算の解き方

ということで、1001は第501項目です。 先ほど、第20群の最後の数が第230項であることを求めました、第501項目はもう少し先になりそうです。試しに、第30群の最後の数が第何項目なのかを求めてみましょう。

第30群の最後=2+3+4+・・・+31
=(2+31)×30÷2
=33×30÷2
=495

ラッキー!良い数字が出ました。第30群の最後の数は第495項となるので、今求めようとしている第501項は、第31群の中にあります。では、第31群の何個目の数かというと、

501-495=6

より、6個目です。

よって答えは

第31群の6個目

(3)第15群の数をすべて足すといくつになるでしょう。

第15群には、16個の数が入っています。あとは、初めの数と最後の数が分かれば、等差数列の和の公式を使うことができます。まずは、第14群の最後の数と、第15群の最後の数を求めていきましょう。
第14群の最後の数は初めから数えて、

2+3+4+・・・+15
=(2+15)×14÷2
=17×14÷2
=119

第14群の最後の数が、初めから数えて119番目の項なので、第15群の初めの数は120番目であることがわかります。では120番目の数がいくつなのかを求めましょう。

1+2×(120-1)
=1+2×119
=1+238
=239

よって、第15群の初めの数は239です。続けて第15群の最後の数が、初めから数えて何番目の数かを求めます。

2+3+4+・・・+16
=(2+16)×15÷2
=18×15÷2
=135

つまり、第15群の最後の数は、初めから数えて135番目の数です。では、初めから数えて135番目の数がいくつなのかを求めましょう。

1+2×(135-1)
=1+2×134
=1+268
=269

よって、第15群の最後の数は269です。

まとめると、第15群は初めの数が239、最後の数が269で、16個の数字が入っています。その和は、

(239+269)×16÷2
=508×16÷2
=4064

よって答えは

4064

ポイント

群数列の問題では、大きく分けて2つのことを考えます。

  1. 第○群の最後の数は、初めから数えて何番目の数字か。
  2. 初めから数えて○番目の数字はいくつか。

自分が今どちらを考えているのか、しっかり意識しながら解きましょう。2つのことを同時に考えるとこんがらがってしまうので、必ず1つ1つ別々に考えましょう。

(応用問題3)あるきまりにしたがって、整数が次のように並んでいます。

1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, ・・・
135791113

(1)分母が1563のとき、分子はいくつになるでしょう。

(2)1000番目の数はいくつでしょう。

(1)分母が1563のとき、分子はいくつになるでしょう。

分子が「1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, ・・・」と、規則正しく並んでいるので「1, 2, 3」を一組にしてグループに分けてしまいましょう。つまり、これは群数列です。

分母は「1, 3, 5, 7, 9, ・・・」と、初めの数が1、公差が2の等差数列になっています。分母が1563になるのは何番目の数か、公式を使って求めます。

初めの数+公差×(N-1)=第N項
1+2×(N-1)=1563
2×(N-1)=1563-1
2×(N-1)=1562
N-1=1562÷2
N-1=781
N=782
□や文字を求める計算の解き方

よって、分母が1563になるのは、782番目の数です。ひとつの群には3つの分数が入っているので、3で割ってみます。

782÷3=260あまり2

群が260個できて、分数が2つ余ります。つまり、分母が1563になる数は、第261群の2つ目の数です。よって分子は2。

よって答えは

2

(2)1000番目の数はいくつでしょう。

まずは、1000番目の数の分子を求めましょう。

1000÷3=333あまり1

なので、分子は1です。続いて分母を求めましょう。分母は「1. 3. 5. 7. ・・・」の数列の1000番目の数なので、

第N項=初めの数+公差×(N-1)
=1+2×(1000-1)
=1+2×999
=1+1998
=1999

よって答えは

1
1999

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