相似比と面積比、体積比

相似比と面積比と体積比の関係
相似比とは、辺の長さの比でした。それでは面積や体積の比はどうなるのでしょうか。
相似比がa:bのとき
面積比=(a×a):(b×b)
体積比=(a×a×a):(b×b×b)
例えば長方形の面積は「たて×横」なので、たての長さも横の長さも2倍になれば「2倍×2倍」になるという理屈です。
同じように考えて、例えば直方体の体積は「たて×横×高さ」なので、たての長さも横の長さも高さも2倍になれば「2倍×2倍×2倍」になるという理屈です。
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相似比から面積比と体積比を求める
では、実際にどんな計算をするのか、例題を解いてみましょう。
(例題1)

上の図の直線DEと直線BCは平行です。
AD=4cm、DB=2cm、三角形ADEの面積が8cm²のとき、台形DBCEの面積は何cm²でしょう。
DEとBCは平行なので、見ての通りのトンガリです。(
トンガリについてはこちら)
三角形ADEと三角形ABCは相似で、相似比は、
AD:AB=4cm:6cm
=2:3
相似比が2:3なので、三角形ADEと三角形ABCの面積比は、
(2×2):(3×3)=4:9
この面積比をもとにして比例式を作ると、
4:9=8cm²:a
4×a=72
a=18
(比例式の解き方
これで、
三角形ABCの面積が18cm²であることがわかりました。
求めたい台形DBCEの面積はの面積は、
三角形ABC-三角形ADE=18cm²-8cm²
=10cm²
よって答えは
10cm²
注意する点は2つです。トンガリの相似比を間違えないことと、比例式で出した三角形ABCの面積をそのまま答えに書いてしまわないことです。
「この計算で何が求められて、今自分は何を求めたいのか」をいつも考えながら、焦らずに解いてください。
(例題2)

上の図の直方体Bは、直方体Aの全ての辺の長さを2倍にしたものです。
直方体Aの体積が100cm³のとき、直方体Bの体積は何cm³でしょう。
直方体Aと直方体Bの辺の長さの比(相似比)は1:2です。よってふたつの直方体の体積比は、
(1×1×1):(2×2×2)=1:8
この体積比をもとにして比例式を作ると、
1:8=100cm³:a
a=800
これで、立方体Bの体積が800cm³であることがわかりました。
よって答えは
800cm³
「2を3回かけるから6だな!」というミスをやらかしやすいです。「そんなわけないじゃん。」って思うかもしれませんが、実際に問題を解いていると結構やらかします。
式をしっかり書くのが一番の予防策ですが、全ての式を書いているわけにもいかない時もあるので、何度かやらかして覚えましょう。
「あ、またやらかしてしまった!」って思った時が、一番効き目があります。
それでは、相似比と面積比、体積比をまとめます。
次は地図の話です。
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