中学受験に必要な算数の基本テクニックを紹介しています。中学受験算数の独特な解法は、小学校では教わらない「裏技」的なものが多いので注意が必要です。
例題を使って、コツやポイントを押さえながら、なるべく丁寧な解説を心がけました。皆さまの理解の手助けとなれば嬉しいです。

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平均

平均の基本

平均とは、いろいろなデータの真ん中の値のことです(←説明が雑)。すべての値を足して、その個数で割って出します。例えば、350円、400円、600円の平均は、

(350+400+600)÷3=1350÷3
=450円

逆に、平均に個数をかけると、値の合計を出せます。

450×3=1350円

この1350円は、350円と400円と600円を足した値になっています。 特に、今回解説する「面積図を使う平均」ではかけ算の式を使うことになるので、こっちの考え方のほうをメインで使っていくことになります。

値の合計÷個数=平均

平均×個数=値の合計

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面積図を使う平均の問題

平均の問題の中でも、問題文に、2種類の平均と合計の平均が出てくる場合は、面積図を使って考える可能性が高いです。 「男子の平均、女子の平均、クラス全体の平均」のようなものが出てくる問題です。 普通に計算で求められることもあるので、「式が立てられないな。」と思ったら、面積図を書いてみましょう。
平均の面積図は普通、たてが平均、横が個数、面積が値の合計、として置きかえられることが多いです。

平均×個数=値の合計
たて×よこ=面積

(例題1)算数の小テストを何回か受けました。 はじめの10回のテストの平均点は80点、残りのテストの平均点は94点、すべてのテストの平均点が84点でした。テストは全部で何回受けたでしょう。

問題文に2種類の平均と合計の平均が出てきたので、面積図を使って考えてみます。 たてを平均、横を受けたテストの回数、面積を合計点に置きかえます。

平均点×テストの回数=合計点
たて×よこ=面積

まずは、最初の10回のテストの面積図と、残りのテストの面積図を並べて書きます。残りのテストを受けた回数がわからないので、横の長さは適当に書いておきます。

これに、すべてのテストの平均の面積図を重ねて書いてみます。

面積がテストの合計ということに注目すると、最初に書いたふたつの黒い長方形の面積と、あとで重ねた赤い長方形の面積は同じになります。 つまり、赤い長方形から飛び出してしまっている部分と、へこんでいる部分の面積は同じです。

もう一度「ア」の部分と、「イ」の部分に注目して、面積図を見てみましょう。

アの面積=4点×10回=40点
イの面積=10点×□回

「ア」の部分の面積と、「イ」の部分の面積は同じなので、

10点×□回=40点
□回=40÷10
□回=4回
□や文字を求める計算の解き方

これで、残りのテストの面積図のよこの長さがわかりました。「横の長さはテストの回数」と、最初に設定しました。

つまり、テストは最初に10回、残り4回受けたことになるので、答えは

14回

面積図いかがでしょうか? 書き方も見方も最初慣れるまでは結構大変だと思いますが、使えるようになればとっても便利なやつなので、頑張って練習してください。

(例題2)A組とE組、合わせて72人でテストをしました。 A組の平均が88点、E組の平均が96点、全体の平均が91点でした。A組、E組はそれぞれ何人いるでしょうか。

問題文に2種類の平均と合計の平均が出てきたので、面積図を使って考えてみます。 たてを平均、横を人数、面積を合計点に置きかえます。

平均点×人数=合計点
たて×よこ=面積

まずは、A組の面積図とE組の面積図を並べて書きます。それぞれのクラスの人数がわからないので、横の長さは適当に書いておきます。

これに、全体の平均の面積図を重ねて書いてみます。

例題1と同じように、赤い四角形から飛び出している部分と、へこんでいる部分の面積は同じです。ですが、その部分だけでは比べられないので、もう少し範囲を広げて見てみます。

「ア」の部分と「イ」の部分の面積は同じなので、「ア+ウ」の部分と「イ+ウ」の部分の面積は同じです。 もう一度、このふたつの長方形に注目して見てみましょう。

ア+ウの面積=3点×72人=216点
イ+ウの面積=8点×□人

ふたつの長方形の面積は同じなので、

8点×□人=216点
□人=216÷8
□人=27人

これでE組の方の長方形の横の長さが出せました。よって、E組は27人。A組とE組は合わせて72人なので、A組の人数は、

72人-27人=45人

よって答えは

A組…45人、E組…27人

このように、少し工夫して読まないといけない面積図もあります。ですが、パターンはそれほど多くないので、しっかりと練習問題をこなしていけば大丈夫です。 それでは平均をまとめます。

まとめ

平均の問題を解くときは

  1. 基本の公式は、「値の合計÷個数=平均」と
    「平均×個数=値の合計」
  2. 問題文に2種類の平均と合計の平均が出てきたときは、面積図を使うと便利なことが多い。
  3. 平均の面積図は、たてを平均、横を個数、面積を値の合計と置きかえることが多い。
  4. 平均の面積図は、全体の平均の長方形から出っ張っている部分と、へこんでいる部分の面積が等しいことに注目する。
  5. 面積が同じであることを利用して、たての長さや横の長さを求める。

面積図続きます。次はつるかめ算です。

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