中学受験に必要な算数の基本テクニックを紹介しています。中学受験算数の独特な解法は、小学校では教わらない「裏技」的なものが多いので注意が必要です。
例題を使って、コツやポイントを押さえながら、なるべく丁寧な解説を心がけました。皆さまの理解の手助けとなれば嬉しいです。

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数列の練習問題② 標準編

数列の標準問題

こちらは、数列の標準問題を載せているページです。
数列の詳しい解説はこちら基本問題はこちら応用問題はこちらへどうぞ。

ポイント

等差数列の公式

  1. 第N項=初めの数+公差×(N-1)
  2. 第N項までの和=(初めの数+最後の数)×N÷2
(標準問題1)あるきまりにしたがって、整数が次のように並んでいます。101番目の整数はいくつでしょう。

2, 5, 8, 11, 14, 17, ・・・

この数列は、初めの数が2、公差が3の等差数列です。

N番目の整数は、「初めの数+公差×(N-1)」で求められるので、

2+3×(101-1)
=2+3×100
=2+300
=302

よって答えは

302

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(標準問題2)あるきまりにしたがって、整数が次のように並んでいます。

5, 12, 19, 26, 33, ・・・


(1)85番目の数はいくつでしょう。

(2)698は何番目の整数でしょう。

(3)この数列には、3けたの整数が何個並んでいるでしょう。

(1)85番目の数はいくつでしょう。

この数列は、初めの数が5、公差が7の等差数列です。

N番目の整数は、「初めの数+公差×(N-1)」で求められるので、

5+7×(85-1)
=5+7×84
=5+588
=593

よって答えは

593

(2)698は何番目の整数でしょう。

N番目の整数は、「初めの数+公差×(N-1)」で求められるので、

初めの数+公差×(N-1)=第N項
5+7×(N-1)=698
7×(N-1)=698-5
7×(N-1)=693
N-1=693÷7
N-1=99
N=99+1
N=100
□や文字を求める計算の解き方

よって答えは

100番目

(3)この数列には、3けたの整数が何個並んでいるでしょう。

まずは、最初の3けたの整数がいくつになるのかを求めます。3けたの整数で一番小さい数は100なので、100が第何項になるのかを求めます。

初めの数+公差×(N-1)=第N項
5+7×(N-1)=100
7×(N-1)=100-5
7×(N-1)=95
N-1=95÷7
N-1=13あまり4

つまり、(N-1)が13だと100までは届かず、(N-1)が14だと100を超えることがわかります。
よって、N=15の時に初めて3けたの整数になります。念のため、第15項がいくつになるのかを求めてみましょう。(実際に問題を解く時には求める必要はありません。)

5+7×(15-1)
=5+98
=103

ということで、初めて3けたの整数になるのは第15項です。

では、最後の3けたの整数をもとめましょう。3けたの整数で一番大きい数は999なので、先ほどと同じように999が第何項になるのかを求めていきます。

初めの数+公差×(N-1)=第N項
5+7×(N-1)=999
7×(N-1)=994
(N-1)=142
N=143

よって、最後に3けたの整数になるのは第143項です。
それでは、3けたの整数が何個並んでいるかを求めていきます。 気をつけてほしいのは、単純にひき算をしてしまうと、初めの第15項を数えていないことになってしまうということです。植木算の考え方ですね!
植木算の解説はこちら

143-15+1=129

よって答えは

129個

(標準問題3)あるきまりにしたがって、分数が次のように並んでいます。101番目の分数はいくつでしょう。

1, 3, 5, 7, 9,・・・
471013

1は1なので、
1

1, 3, 5, 7, 9,・・・
1471013

分母と分子を別々に考えます
分子は「1, 3, 5, 7,・・・」となっているので、初めの数が1、公差が2の等差数列です。101番目の数は、

1+2×(101-1)
=1+200
=201

よって、分子は201です。
続いて分母を考えましょう。分母は「1, 4, 7, 10,・・・」となっているので、初めの数が1、公差が3の等差数列です。101番目の数は、

1+3×(101-1)
=1+300
=301

よって分母は301です。
よって答えは

201
301

(標準問題4)あるきまりにしたがって、整数が次のように並んでいます。

1, 4, 7, 10, 13, ・・・


(1)1番目から50番目までの数をすべて加えると、その和はいくつになるでしょう。

(2)「1+4+7+10+・・・+250」はいくつでしょう。

(3)この数列に並んでいる2けたの整数をすべて加えると、その和はいくつになるでしょう。

(1)1番目から50番目までの数をすべて加えると、その和はいくつになるでしょう。

この数列は、初めの数が1、公差が3の等差数列です。

等差数列の第N項までの和は「(初めの数+最後の数)×N÷2」で求められるのですが、最後の数がわからないので、まずは最後の数を求めます。
第50項は、

1+3×(50-1)
=1+147
=148

よって、最後の数は148です。それでは、等差数列の和を求める公式に入れてみましょう。

(初めの数+最後の数)×N÷2
=(1+148)×50÷2
=149×25
=3725

よって答えは

3725

(2)「1+4+7+10+・・・+250」はいくつでしょう。

このたし算は、初めの数が1、最後の数が250の等差数列をすべて足したものになります。 なのでまずは、「250」が第何項なのかを求めていきます。この数列は、初めの数が1、公差が3の等差数列なので、

初めの数+公差×(N-1)=第N項
1+3×(N-1)=250
3×(N-1)=249
(N-1)=83
N=84
□や文字を求める計算の解き方

なので、最後の数250は第84項です。

それでは和を求めましょう。

(初めの数+最後の数)×N÷2
=(1+250)×84÷2
=251×42
=10542

よって答えは

10542

(3)この数列に並んでいる2けたの整数をすべて加えると、その和はいくつになるでしょう。

まずは、最後の2けたの整数を求めます。2けたの整数で一番大き数は99なので、99が第何項かを求めていきましょう。

初めの数+公差×(N-1)=第N項
1+3×(N-1)=99
3×(N-1)=98
(N-1)=32あまり2

つまり、(N-1)が32だと99までは届かず、(N-1)が33だと99を超えることがわかります。
よって、N=33の時が最後の2けたの整数になります。では、第33項の数字を求めましょう。

1+3×(33-1)
=1+96
=97

ということで、最後の3けたの整数は、第33項で「97」です。

それでは、第1項から第33項までの和を求めましょう。

(初めの数+最後の数)×N÷2
=(1+97)×33÷2
=98×33÷2
=1617

しかし、第1項から第3項までは1けたの整数なので、その分は引いておきましょう。

1617-(1+4+7)
=1605

よって答えは

1605

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(標準問題5)あるきまりにしたがって、整数が次のように並んでいます。

1000, 997, 994, 991, 988, ・・・


(1)121番目の数はいくつでしょう。

(2)1番目から121番目までの数をすべて加えると、その和はいくつになるでしょう。

(3)403は何番目の整数でしょう。

(1)121番目の数はいくつでしょう。

この数列は等差数列です。3を引くと次の項の数になります。

等差数列のN番目の数を求める公式は、初めの数に公差を(N-1)回足すから「初めの数+公差×(N-1)」でした。今回は初めの数から3を(N-1)回引くことになります。 なので、今回使う公式は、

N番目の数=初めの数-公差×(N-1)

よって、121番目の数は、

1000-3×(121-1)
=1000-3×120
=1000-360
=640

よって答えは

640

(2)1番目から121番目までの数をすべて加えると、その和はいくつになるでしょう。

等差数列の第N項までの和の公式は、数列をちょうど真ん中で切って並べ替えて考えました。

上の図のように、数がへっていく等差数列でも、「第N項までの和=(初めの数+最後の数)×N÷2」の公式は同じように使えます

(初めの数+最後の数)×N÷2
(1000+640)×121÷2
=1640×121÷2
=99220

よって答えは

99220

(3)403は何番目の整数でしょう。

「初めの数-公差×(N-1)=N番目の数」の公式を使って、403番目の数を求めていきます。。

初めの数-公差×(N-1)=N番目の数
1000-3×(N-1)=403
3×(N-1)=1000-403
3×(N-1)=597
N-1=597÷3
N-1=199
N=199+1
N=200
□や文字を求める計算の解き方

よって答えは

200番目

公式はまる覚えするだけでなく、「どうしてそうなるのか。」を知っておくと、応用問題に瞬時に対応できますよ!

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