数列の練習問題②　標準編

この数列は、初めの数が2、公差が3の等差数列です。

N番目の整数は、「初めの数＋公差×（N－1）」で求められるので、

2＋3×（101－1）
＝2＋3×100
＝2＋300
＝302

よって答えは

302

（3）この数列には、3けたの整数が何個並んでいるでしょう。

まずは、最初の3けたの整数がいくつになるのかを求めます。3けたの整数で一番小さい数は100なので、100が第何項になるのかを求めます。

初めの数＋公差×（N－1）＝第N項
5＋7×（N－1）＝100
7×（N－1）＝100－5
7×（N－1）＝95
N－1＝95÷7
N－1＝13あまり4

つまり、（N－1)が13だと100までは届かず、（N－1)が14だと100を超えることがわかります。
よって、N＝15の時に初めて3けたの整数になります。念のため、第15項がいくつになるのかを求めてみましょう。（実際に問題を解く時には求める必要はありません。）

5＋7×（15－1）
＝5＋98
＝103

ということで、初めて3けたの整数になるのは第15項です。

では、最後の3けたの整数をもとめましょう。3けたの整数で一番大きい数は999なので、先ほどと同じように999が第何項になるのかを求めていきます。

初めの数＋公差×（N－1）＝第N項
5＋7×（N－1）＝999
7×（N－1）＝994
（N－1）＝142
N＝143

よって、最後に3けたの整数になるのは第143項です。
それでは、3けたの整数が何個並んでいるかを求めていきます。 気をつけてほしいのは、単純にひき算をしてしまうと、初めの第15項を数えていないことになってしまうということです。植木算の考え方ですね！
（植木算の解説はこちら）

143－15＋1＝129

よって答えは

129個

分母と分子を別々に考えます
分子は「1, 3, 5, 7,・・・」となっているので、初めの数が1、公差が2の等差数列です。101番目の数は、

1＋2×（101－1）
＝1＋200
＝201

よって、分子は201です。
続いて分母を考えましょう。分母は「1, 4, 7, 10,・・・」となっているので、初めの数が1、公差が3の等差数列です。101番目の数は、

1＋3×（101－1）
＝1＋300
＝301

よって分母は301です。
よって答えは

（3）この数列に並んでいる2けたの整数をすべて加えると、その和はいくつになるでしょう。

まずは、最後の2けたの整数を求めます。2けたの整数で一番大き数は99なので、99が第何項かを求めていきましょう。

初めの数＋公差×（N－1）＝第N項
1＋3×（N－1）＝99
3×（N－1）＝98
（N－1）＝32あまり2

つまり、（N－1)が32だと99までは届かず、（N－1)が33だと99を超えることがわかります。
よって、N＝33の時が最後の2けたの整数になります。では、第33項の数字を求めましょう。

1＋3×（33－1）
＝1＋96
＝97

ということで、最後の3けたの整数は、第33項で「97」です。

それでは、第1項から第33項までの和を求めましょう。

（初めの数＋最後の数）×N÷2
＝（1＋97）×33÷2
＝98×33÷2
＝1617

しかし、第1項から第3項までは1けたの整数なので、その分は引いておきましょう。

1617－（1＋4＋7）
＝1605

よって答えは

1605

（3）403は何番目の整数でしょう。

「初めの数－公差×（N－1）＝N番目の数」の公式を使って、403番目の数を求めていきます。。

初めの数－公差×（N－1）＝N番目の数
1000－3×（N－1）＝403
3×（N－1）＝1000－403
3×（N－1）＝597
N－1＝597÷3
N－1＝199
N＝199＋1
N＝200
（□や文字を求める計算の解き方）

よって答えは

200番目