相似比と面積比、体積比

相似比と面積比と体積比の関係

相似比とは、辺の長さの比でした。それでは面積や体積の比はどうなるのでしょうか。

相似比がa:bのとき
面積比＝（a×a）:（b×b）
体積比＝（a×a×a）:（b×b×b）

例えば長方形の面積は「たて×横」なので、たての長さも横の長さも2倍になれば「2倍×2倍」になるという理屈です。
同じように考えて、例えば直方体の体積は「たて×横×高さ」なので、たての長さも横の長さも高さも2倍になれば「2倍×2倍×2倍」になるという理屈です。

相似比から面積比と体積比を求める

では、実際にどんな計算をするのか、例題を解いてみましょう。

（例題1）

上の図の直線DEと直線BCは平行です。 AD＝4cm、DB＝2cm、三角形ADEの面積が8cm²のとき、台形DBCEの面積は何cm²でしょう。

DEとBCは平行なので、見ての通りのトンガリです。（トンガリについてはこちら）

三角形ADEと三角形ABCは相似で、相似比は、

AD:AB＝4cm:6cm
＝2:3

相似比が2:3なので、三角形ADEと三角形ABCの面積比は、

（2×2）:（3×3）＝4:9

この面積比をもとにして比例式を作ると、

4:9＝8cm²:a
4×a＝72
a＝18
（比例式の解き方

これで、三角形ABCの面積が18cm²であることがわかりました。

求めたい台形DBCEの面積はの面積は、

三角形ABC－三角形ADE＝18cm²－8cm²
＝10cm²

よって答えは

10cm²

注意する点は2つです。トンガリの相似比を間違えないことと、比例式で出した三角形ABCの面積をそのまま答えに書いてしまわないことです。「この計算で何が求められて、今自分は何を求めたいのか」をいつも考えながら、焦らずに解いてください。

（例題2）

上の図の直方体Bは、直方体Aの全ての辺の長さを2倍にしたものです。直方体Aの体積が100cm³のとき、直方体Bの体積は何cm³でしょう。

直方体Aと直方体Bの辺の長さの比（相似比）は1:2です。よってふたつの直方体の体積比は、

（1×1×1）:（2×2×2）＝1:8

この体積比をもとにして比例式を作ると、

1:8＝100cm³:a
a＝800

これで、立方体Bの体積が800cm³であることがわかりました。
よって答えは

800cm³

「2を3回かけるから6だな！」というミスをやらかしやすいです。「そんなわけないじゃん。」って思うかもしれませんが、実際に問題を解いていると結構やらかします。式をしっかり書くのが一番の予防策ですが、全ての式を書いているわけにもいかない時もあるので、何度かやらかして覚えましょう。「あ、またやらかしてしまった！」って思った時が、一番効き目があります。
それでは、相似比と面積比、体積比をまとめます。

まとめ